椭圆的法线性质在物理中的几个应用

物理和数学是紧密关联的两门学科，数学原理可以应用在不同的物理情境中。椭圆作为解析几何中的一种重要的圆锥曲线，它的法线性质在物理学中有众多应用，本文结合力学、声学中的几个问题做探讨。

1 椭圆的法线性质及其证明

椭圆的法线性质可表述为：椭圆的任一条切线，其法线平分过切点的两条焦半径所夹的角。

结合图1对该性质证明如下：椭圆的标准方程为=1，两边对x求导得=0，整理得，则过点P(x0，y0)切线的斜率。

图1

因为过同一点的法线与切线垂直，所以过点P(x0，y0)的法线的斜率，过点P(x0，y0)两条焦半径的斜率分别为，其中。

设法线与两条焦半径的连线夹角分别为θ1和θ2，根据两直线夹角与斜率的关系有

对于椭圆有，所以有，同理可求得，所以有θ1=θ2。

2 椭圆的法线性质在物理中的应用

2.1 在声学中的应用

如图2所示，如果以椭圆面为反射面，根据反射定律，反射角等于入射角，则从椭圆一个焦点上发出的声音或光经过反射将汇聚到椭圆的另一个焦点上。

图2

据说意大利的西西里岛上曾建造过一座奇特的岩洞监狱，令人奇怪的是犯人们每次密谋越狱和暴动的计划，很快就被看守所知晓。原来洞顶和墙壁都是椭圆面，囚犯被关押处正好是椭圆的一个焦点，而看守的位置在椭圆的另一个焦点上，只要犯人们张口说话，哪怕是很轻微的声音，都会通过椭圆面的反射聚焦到看守的位置，这正是椭圆性质的绝妙应用。当然这个故事很可能只是个传说，但在医疗确有中类似应用，在用超声波给结石病人体内碎石时，声波发射装置位于椭球反射面的一个焦点上，待碎石部位则位于椭球的另一个焦点上，如图3所示，这样超声波的能量被集中在患处，易于碎石。

图3

2.2 在力学中的应用

2.2.1 机械能守恒问题

以下为一道有关机械能守恒的问题，特种兵过山谷的一种方法可简化为图4所示的情景：将一根长为2d的不可伸长的细绳两端固定在相距为d的A、B两等高点，绳上挂一小滑轮P，战士们相互配合，就可沿着绳子滑到对面，战士甲用水平力F拉住滑轮，质量为m的战士乙吊在滑轮上，脚离地处于静止状态，此时AP竖直，然后战士甲将滑轮从静止状态释放，若不计滑轮摩擦及空气阻力，也不计滑轮的质量，求：

图4

(1)战士甲释放滑轮前对滑轮的水平拉力F；

(2)战士乙滑动过程中的最大速度。

这道题求解并不复杂，这里不探讨其求解。在求解(2)问时需运用机械能守恒定律，战士乙在滑动过程中，作用在滑轮两边的绳子拉力与战士乙的运动方向均不是垂直关系，也就是说两侧的绳子拉力均做功，那么机械能守恒是如何成立的呢？要说清楚这个问题就得借助椭圆的法线性质了。

如图5所示，根据几何关系，战士乙的运动轨迹为椭圆，A、B分别为椭圆的两个焦点，战士乙沿椭圆的切线方向运动；由于滑轮是光滑的，则滑轮两侧的绳子拉力大小始终相等，所以两侧绳子拉力的合力方向沿∠APB平分线方向，根据椭圆的法线性质，该平分线方向与切线方向即战士乙的运动方向始终垂直，所以滑轮两侧绳子拉力的合力是始终不做功的，战士乙在运动过程中机械能守恒。

图5

2.2.2 万有引力问题

物体在中心天体的万有引力作用下的运动轨迹为椭圆曲线，如行星的运动以及人造天体的运动轨迹大多为椭圆，利用椭圆的法线性质可方便处理某些万有引力作用下的运动问题，如下面的导弹落地点问题。

在北极地面以仰角α发射一枚导弹，导弹的发射速度为第一宇宙速度的k倍)，求导弹落地点的纬度，忽略空气阻力影响。

图6

导弹发射后只受地球引力作用，则导弹的运动轨迹为椭圆(事实上在才是)。该问题若设法求得椭圆的轨迹方程，再求椭圆与圆的交点，可以解决问题，但在求解过程中运算量很大，特别是椭圆方程不易求得。若利用椭圆的法线性质可避开求椭圆的方程问题，运算过程也比较简洁。

如图6所示，椭圆的一个焦点在地心O处，另一个焦点设为F，发射点位置设为A，落地点位置设为B，过A点的法线为AC。

因为发射方向仰角为α，那么发射方向与竖直方向的夹角为90°-α，而法线AC与初速度v的方向垂直，所以∠OAC=α，又因为法线AC平分∠OAF，则∠OAF=2α。

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